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立几压轴:三招搞定组合体

彭西东 素人素言 2022-07-17

《立体几何》知识网络图:


最近

学生参加了几次的联考

不少同学都感觉

自己是不是要被立几给废了?

不然为什么

好几次的立几小题

都让自己有想哭的冲动


其实

立几的核心考点

也只是

三视图、空间几何体

位置关系、空间量的计算

而空间几何体的考查

除了三视图

主要以

组合体为素材

考查多面体的外接球


所以

确实的

多面体外接球的问题

还是要处理好


我也是一直想写点什么

以助力孩子们的高考

奈何好像懒散了

拖到了今天


01

球的截面

平面与球相交产生的截面为圆

过球心的截面圆为截面大圆

不过球心的截面圆统称小圆


据老师的经验

但凡涉及到球的计算问题

截面大圆还是非常重要的

只因为

大圆的半径就是球的大小


就象下面这个例题

球O是棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的内切球,过正方体的两条棱AB和A1D1的中点P、Q作直线,则该直线被球面截在球内的线段的长为(  )

你会怎么处理呢?

(向右滑动可查看答案)

截面性质

球心与截面小圆圆心连线垂直于截面小圆

(其中r为小圆半径,h为球心到截面距离)


02

球与长方体

长方体外接球的直径为长方体体对角线

(其中a,b,c分别是长方体的长宽高)


03

球与圆柱(锥)

圆柱的外接球球心为圆柱轴线的中点

(其中r为底面半径,h为圆柱的高)


圆锥外接球球心在圆锥的高线上

且满足

(其中r为底面半径,h为圆锥的高)


好了,有了上面的基础知识作铺垫,我们就可以解决一些多面体的外接球问题了。

当然,真正处理外接球问题,可能会用到三类办法:

补图法

根据几何体特殊的特征

将几何体补成长方体、直棱柱、圆柱或圆锥

寻找轴截面

通过过球心作平面

找出截面大圆所在的平面

利用平面图形处理

确定球心位置

根据圆心到各顶点距离相等的特点

确定球心的位置并求解

如用几何法不便求解

可考虑用代数法建系求解




补成长方体


01

02

补成圆柱或圆锥

03

04

05

06

补图经验谈:

补长方体:出现棱与棱垂直条件;

补成圆柱:出现侧棱与底面垂直或

              侧面与底面垂直;

补成圆锥:出现侧棱长相等。

寻找轴截面

07

08

确定球心位置

09

10

End


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